- - Théorie - -



Le vortex :


Les structures tourbillonnaires sont extrêmement fréquentes dans les écoulements : tout le monde a vu un tourbillon se former en vidant un évier. Les plus grosses de ces structures se rencontrent sur notre planète dans les écoulements atmosphériques (cyclones et anti-cyclones comme on l’a expliqué en première partie) qui peuvent atteindre des diamètres gigantesques de 1000 km et des vitesses typiques de 100 km/h dans la haute atmosphère. On rencontre aussi de très gros écoulements en rotation dans les océans (tourbillons océaniques) dont les diamètres sont de l'ordre de 100 km, et les vitesses typiques de l'ordre de quelques dizaines de km/h ( ce qui est relativement important pour ce type de fluide). Les plus petites de ces structures ont aussi une limite, inférieure cette fois, et qui n'est plus imposée par la taille de notre planète, mais plutôt par la viscosité du fluide: en dessous d'une certaine taille (de type microscopique), la dissipation visqueuse ne permet plus de maintenir une structure cohérente organisée: le phénomène ne peut donc pas se produire à l’intérieur de la couche limite d’un fluide. Les tornades correspondent à l’échelle intermédiaire de ce phénomène bien qu’elles soient tout de même un phénomène spectaculaire.

On peut commencer en s’interrogeant sur la nature même de la vorticité ou du vecteur tourbillon.

Définition du terùe vorticité
Comme nous l’avons dit en première partie,la vorticité est un concept relativement important pour décrire la structure et l’évolution du tourbillon dans le nuage. .

Modélisation mathématique :
On appelle donc vorticité une quantité vectorielle qui mesure localement la rotation du fluide (quelque soit son état). En terme mathématique, la vorticité est égale au rotationnel du vecteur vitesse du vent.
Nous allons effectué une petite modélisation pour mieux comprendre :


On se place dans le reférentiel terrestre. Le vecteur vitesse du vent s’exprime en coordonnées cartésiennes :

V=(u,v,w)

On obtient alors le vecteur vorticité suivant :

En étudiant brièvement la forme du vecteur vorticité, on remarque :

On obtient schématiquement des vecteurs de vorticité de la forme suivante :




On appelle vortex, ou plus communément tourbillon, une région de forte vorticité ; l’axe du vortex ou du tourbillon est la direction dans laquelle pointe le vecteur vorticité.
Cette modélisation explique le terme souvent employé de concentré de vorticité : la vorticité de la tornade se concentre dans le vortex. Elle est d’ailleurs générée par la superposition des trois derniers phénomènes : des mouvements atmosphériques en rouleaux d’axe vertical, un cisaillement de vent vertical, et enfin une variation du vent horizontal.

Rotationnel et rotation : l’amalgame abusif
Durant ce P.I.R., nous avons remarqué qu’il était très facile de faire l’amalgame entre rotation et rotationnel. En effet, nous avons été sujets à cette confusion un grand nombre de fois lorsque nous avons commencé à étudier le phénomène. Il est vrai que parfois, parler de rotationnel revient à parler de rotation mais il n’a jamais été démontré qu’il existait une quelconque équivalence ou relation intrinsèque entre ces deux termes.
Ainsi pouvons-nous citer un premier contre-exemple à cette confusion malheureusement trop facile. Dans la modélisation fluide visqueux, nous avons mis en place la notion de couche limite : cette dernière correspond à une fine pellicule de fluide qui sépare le fluide parfait de l’écoulement et l’obstacle. Dans cette zone, on sait qu’il règne de fort gradient de vitesse puisque le fluide passe de sa vitesse moyenne (vitesse du fluide parfait) à la vitesse nulle (condition aux limites d’un fluide visqueux). Cette modélisation permet de mieux comprendre la réalité car elle permet d’éliminer certaines conditions aux limites.
Aussi peut-on tenter d’étudier ces variations de vitesse dans la couche limite. Prenons le cas d’un champ de vitesse de forme parabolique :



Soit avec U(y)= a y2

Nous remarquons, sur le schéma, qu’il n’y a pas de rotation visible du champ de vitesse.
Calculons maintenant le rotationnel de ce champ de vitesse :

 

On a donc un rotationnel différent du vecteur nul mais pas de rotation : il existe donc des champ de vitesse ne caractérisant pas une rotation mais avec un rotationnel non nul. Dans le cas que nous venons d’étudier, nous pouvons interpréter le rotationnel de la manière suivante :
On peut trouver mathématiquement une vitesse correspondant à la moyenne des vitesses de la couche limite : on peut alors considérer les vitesses du fluide à deux altitudes différentes ; on a :

La différence de sens entre ces deux vitesses est la cause majeure de la présence d’un rotationnel non nul. On pourrait se risquer de l’interpréter de la manière suivante :

 


Néanmoins, il est préférable de ne pas concevoir le phénomène avec cette rotation virtuelle qui N’EXISTE PAS.

Dans l’étude cinématique de la tornade nous allons aborder un phénomène semblable ; en effet, nous allons considérer un cylindre dans lequel le vecteur rotationnel est non nul mais, à l’extérieur du cylindre, nous allons prendre un rotationnel nul.

Ainsi peut-on définir des domaines dans lesquels le mouvement de fluide est irotationnel (D1) mais il existe un point singulier dans lequel est concentré le rotationnel de l’espace(D2).
C’est là qu’il faut donc faire attention lors de la modélisation. Interpréter ces domaines comme des lieux où est absent tout tourbillonnement serait synonyme d’une mauvaise interprétation. La modélisation que nous allons prendre oblige à considérer tout le domaine(D3) pour comprendre les phénomènes qui s’y produisent.


Modélisation cinématique d’un vortex libre
Nous allons tenter d’effectuer une approche cinématique particulièrement simplifiée d’une tornade afin de comprendre ses mécanismes fondamentaux.
On se place donc dans un référentiel galiléen qui est le référentiel terrestre. La symétrie cylindrique d’une tornade nous suggère de la modéliser en coordonnées cylindriques.
Nous allons considérer que notre vortex correspond au concept de vortex libre :
Considérons que le fluide, à l’intérieur d’un cylindre de rayon a, est en rotation autour de son axe de révolution avec une vitesse périphérique V0 ; le fluide à l’extérieur quant à lui est au repos. Le fluide en contact avec le cylindre est mis en mouvement par la rotation du cylindre.
Les conclusions que nous allons en tirer sont les suivantes : le fluide en dehors du cylindre adopte lui aussi un mouvement de rotation autour du cylindre. Leur vitesse diminue en 1/r : elle varie avec l’inverse du rayon. Si on réduit le rayon du cylindre à O c’est-à-dire que l’on fait tendre vers 0 son rayon, on voit apparaître la notion de tourbillon (en deux dimensions et respectivement de ligne tourbillonnaire en trois dimensions). En effet, sa limite V0 .a quand a tend vers 0 fait apparaître une vitesse infinie à l’origine du cylindre. Ce point doit donc être considéré comme un point singulier et on doit toujours veiller veiller à adapter une étude cinématique à la réalité : en effet, il est impossible de trouver une vitesse infinie réelle. Néanmoins, il semble que cette méthode permet de refléter tout de même un aspect relativement réel de ce qui ce passe dans le fluide en réalité.
On décrit donc une tornade comme un écoulement incompressible à symétrie cylindrique autour de l’axe Oz (axe vertical). Le champ des vitesses est pris orthoradial : la tornade est donc fixe par rapport au sol et ne fait que tourner sur elle-même.
Le vecteur tourbillon se modélise de la façon suivante:

On considère donc que la vorticité (directement lié au vecteur tourbillon par un facteur 2) est homogène à l’intérieur de la tornade et qu’il est nul à l’extérieur. La simplification est un peu abusive car on ne prend par en compte la force d’entraînement due à la viscosité mais elle semble tout de même refléter de façon correcte une modélisation cohérente du fonctionnement de la tornade.
On utilise le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r pour établir l’expression de la composante orthoradiale de la vitesse :

En choisissant comme contour (C) le cercle de rayon r et d’axe Oz, orienté dans le sens trigonométrique, et comme surface (S) s’appuyant sur (C) le disque correspondant, nous obtenons :

La représentation graphique donne :

Le cœur de la tornade c'est-à-dire pour r=0 est une zone de calme ce qui paraît être une modélisation abusive car comme on l’a dit dans la première partie, c’est dans le vortex que la vorticité est maximale.

On se propose alors de faire tendre a vers 0 : le domaine représente alors tout l’espace privé de l’axe Oz ; dans ce domaine, on obtient l’expression du champ des vitesses en remplaçant le produit par par ( est la circulation du tourbillon). En définitive, nous obtenons le champ des vitesses d’un vortex :

Avec un vecteur vitesse de cette forme, il est trivial de remarquer que le rotationnel est nul en tout point de l’espace ( excepté l’axe Oz). Il semble alors narturel de chercher dans ce domaine un potentiel f tel que . En coordonnées cylindriques, l’identification des composantes du gradient conduit à :

et

Il en résulte que f est indépendant de r et que :
soit

Mais le potentiel obtenu n’est pas continu dans le domaine constitué de l’espace privé de Oz.

Ce qui est évidemment incohérent puisque lorsqu’on tourne de 2p on se retrouve physiquement dans la même situation.
Il est donc évident qu’un tel potentiel ne peut convenir que localement dans un domaine où l’angle ? varie de moins de 2p.
N.B. : En réalité, la difficulté vient du fait que l’écoulement est irrotationnel dans le domaine (D) extérieur au cylindre ce qui est « topologiquement vilain » car on ne peut pas déformer continûment toute courbe fermée de (D) pour en faire un pont de (D) ( une courbe qui entoure le cylindre résiste à ce traitmement ). Dans ce cas, on montre que en tout point de (D) n’impose pas l’existence d’un potentiel des vitesses dans tout (D).

Dans cette étude, on voit bien que la vorticité est concentré dans le cœur du vortex. Nous avions choisi un écoulement en 1/r à l’extérieur du cœur, ce qui donne une vorticité nulle dans cette région comme nous l’avons supposé au début de notre étude.



Mécanismes :


Le basculement :

Le basculement d’un tourbillon horizontal en un tourbillon vertical amorce la rotation du courant ascendant de l’orage (selon la théorie classique). La rotation autour d’un axe horizontal (illustrée par le tube du vortex) est due au fait que la vitesse du vent augmente avec l’altitude : le haut d’une masse d’air se déplace plus vite que le bas.

 

 


Lorsque les vents soumis à ce cisaillement sont déviés par un fort courant ascendant, l’axe de rotation bascule et devient vertical et le courant ascendant qui en résulte tourne dans le sens inverse ds aiguilles d’une montre (anticyclonique). Le côté éloigné du tube, qui tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, se trouve généralement dans le courant ascendant des précipitations de l’orage.


L’étirement :


Ce courant tournant se propage ensuite vers le sol par un effet de « tube dynamique ». Le long de la colonne en rotation, le champ de pression est en équilibre avec le champ de vents où la circulation est fortement incurvée. En effet, la force dirigée vers l'intérieur, qui s'exerce sur l'air du fait de la faible pression qui règne au centre de la colonne, est équilibrée la rotation de l'air autour du centre de la colonne. Dans ces conditions d'équilibre cyclonique, l'air circule facilement, autour et le long de l'axe du cyclone, mais il ne peut pratiquement pas s'en éloigner ou s'en approcher. Alors qu'auparavant une partie de l'air entrait dans la colonne ascendante à l'altitude des couches moyennes, maintenant la presque totalité de l'air s'engouffre à la base du tuba. Le cyclone se comporte comme un tube dynamique ; tout se passe comme dans le tuyau d'un aspirateur, hormis le fait que l'air
n'est pas canalisé par les parois d'un tuyau mais par son propre mouvement tourbillonnaire. Il en résulte une intensification du courant ascendant et, par conséquent, un renforcement des vents qui convergent sous le cyclone. Du fait du cisaillement de la direction du vent, l'air qui s'engouffre dans le courant ascendant s'élève en tournant autour du centre de la colonne. D'après une loi fondamentale de la physique, le moment cinétique d'une masse d'air par rapport à son axe de rotation vertical est conservé ; ce moment cinétique est égal au produit de la quantité de mouvement (la masse multipliée par la vitesse) par la distance à l'axe. Par conséquent, à mesure que sa distance au centre diminue, la vitesse de la masse d'air augmente ; elle se met à tourner plus vite de même qu'en patinage artistique la danseuse tourne plus vite quand elle ramène les bras le long du corps. Donc, à la base du tube dynamique, la vitesse de rotation augmente ; cela provoque un allongement du tube vers le bas, par propagation du mouvement tourbillonnaire plus intense. Les masses d'air qui entrent à la base du tube tournent et montent en gagnant de la vitesse. Elles sont ainsi étirées verticalement. Cet étirement réduit le diamètre du cyclone à environ deux à six kilomètres, ce qui renforce encore la vitesse des vents : le moment cinétique de l'air, qui tourne maintenant à une distance plus faible de l'axe, est conservé.
Le basculement, l'effet de tube dynamique, la convergence et l'étirement vertical sont des processus qui s'entraînent mutuellement et qui peuvent, par la suite, former un mésocyclone dont le pied est à une altitude d'un kilomètre et le haut presque au sommet de l'orage à environ 15 kilomètres. Les vents de surface soufflent à des vitesses atteignant parfois 120 kilomètres à l'heure dans toute la région située sous la colonne tourbillonnante. La rotation dans le mésocyclone est cependant encore trop diffuse et trop éloignée du sol pour engendrer des vents de surface très violents.

 

Rappel sur la conservation du moment cinétique :

Définition du moment cinétique : Dans le cas d'une force centrale, c'est-à-dire passant par un point fixe O, le moment cinétique d'un point matériel M en mouvement est la vitesse avec laquelle augmente l'aire balayée (angle de balayage) par une ligne allant du point 0 jusqu'au point matériel ( ), multipliée par la masse du point matériel (m). Le théorème du moment cinétique exprime que cette quantité est constante.
Appliquée à un système matériel en mouvement par rapport à un axe fixe, cette quantité peut être additionnée pour toutes les masses du système matériel. Elle est encore constante si le moment par rapport à cet axe des forces extérieures appliquées au système est nul. La notion de conservation du moment cinétique exprime qu'un corps au repos ne peut être mis en rotation que si une impulsion lui est appliquée grâce à des forces extérieures. Cela signifie aussi que, si un système est en rotation, toute diminution de son rayon par une concentration doit se trouver compensée par une augmentation de sa vitesse de rotation.

 

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