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Les structures tourbillonnaires sont extrêmement fréquentes dans les écoulements : tout le monde a vu un tourbillon se former en vidant un évier. Les plus grosses de ces structures se rencontrent sur notre planète dans les écoulements atmosphériques (cyclones et anti-cyclones comme on l’a expliqué en première partie) qui peuvent atteindre des diamètres gigantesques de 1000 km et des vitesses typiques de 100 km/h dans la haute atmosphère. On rencontre aussi de très gros écoulements en rotation dans les océans (tourbillons océaniques) dont les diamètres sont de l'ordre de 100 km, et les vitesses typiques de l'ordre de quelques dizaines de km/h ( ce qui est relativement important pour ce type de fluide). Les plus petites de ces structures ont aussi une limite, inférieure cette fois, et qui n'est plus imposée par la taille de notre planète, mais plutôt par la viscosité du fluide: en dessous d'une certaine taille (de type microscopique), la dissipation visqueuse ne permet plus de maintenir une structure cohérente organisée: le phénomène ne peut donc pas se produire à l’intérieur de la couche limite d’un fluide. Les tornades correspondent à l’échelle intermédiaire de ce phénomène bien qu’elles soient tout de même un phénomène spectaculaire.
On peut commencer en s’interrogeant sur la nature même de la vorticité ou du vecteur tourbillon.
Définition du terùe vorticité
Comme nous l’avons dit en première partie,la vorticité est
un concept relativement important pour décrire la structure et l’évolution
du tourbillon dans le nuage. .
Modélisation mathématique :
On appelle donc vorticité une quantité vectorielle qui mesure
localement la rotation du fluide (quelque soit son état). En terme mathématique,
la vorticité est égale au rotationnel du vecteur vitesse du vent.
Nous allons effectué une petite modélisation pour mieux comprendre
:
On se place dans le reférentiel terrestre. Le vecteur vitesse du vent
s’exprime en coordonnées cartésiennes :
V=(u,v,w)
On obtient alors le vecteur vorticité suivant :
En étudiant brièvement la forme du vecteur vorticité,
on remarque :
On obtient schématiquement des vecteurs de vorticité de la forme suivante :
On appelle vortex, ou plus communément tourbillon, une région
de forte vorticité ; l’axe du vortex ou du tourbillon est la direction
dans laquelle pointe le vecteur vorticité.
Cette modélisation explique le terme souvent employé de concentré de
vorticité : la vorticité de la tornade se concentre dans le vortex.
Elle est d’ailleurs générée par la superposition
des trois derniers phénomènes : des mouvements atmosphériques
en rouleaux d’axe vertical, un cisaillement de vent vertical, et enfin
une variation du vent horizontal.
Rotationnel et rotation : l’amalgame abusif
Durant ce P.I.R., nous avons remarqué qu’il était très
facile de faire l’amalgame entre rotation et rotationnel. En effet, nous
avons été sujets à cette confusion un grand nombre de
fois lorsque nous avons commencé à étudier le phénomène.
Il est vrai que parfois, parler de rotationnel revient à parler de rotation
mais il n’a jamais été démontré qu’il
existait une quelconque équivalence ou relation intrinsèque entre
ces deux termes.
Ainsi pouvons-nous citer un premier contre-exemple à cette confusion
malheureusement trop facile. Dans la modélisation fluide visqueux, nous
avons mis en place la notion de couche limite : cette dernière correspond à une
fine pellicule de fluide qui sépare le fluide parfait de l’écoulement
et l’obstacle. Dans cette zone, on sait qu’il règne de fort
gradient de vitesse puisque le fluide passe de sa vitesse moyenne (vitesse
du fluide parfait) à la vitesse nulle (condition aux limites d’un
fluide visqueux). Cette modélisation permet de mieux comprendre la réalité car
elle permet d’éliminer certaines conditions aux limites.
Aussi peut-on tenter d’étudier ces variations de vitesse dans
la couche limite. Prenons le cas d’un champ de vitesse de forme parabolique
:
Soit avec U(y)= a y2
Nous remarquons, sur le schéma, qu’il n’y a pas de rotation
visible du champ de vitesse.
Calculons maintenant le rotationnel de ce champ de vitesse :
On a donc un rotationnel différent du vecteur nul mais
pas de rotation : il existe donc des champ de vitesse ne caractérisant
pas une rotation mais avec un rotationnel non nul. Dans le cas que nous venons
d’étudier, nous pouvons interpréter le rotationnel de la
manière suivante :
On peut trouver mathématiquement une vitesse correspondant à la
moyenne des vitesses de la couche limite : on peut alors considérer les
vitesses du fluide à deux altitudes différentes ; on a :
La différence de sens entre ces deux vitesses est la cause majeure
de la présence d’un rotationnel non nul. On pourrait se risquer
de l’interpréter de la manière suivante :
Néanmoins, il est préférable de ne pas concevoir le phénomène
avec cette rotation virtuelle qui N’EXISTE PAS.
Dans l’étude cinématique de la tornade nous allons aborder un phénomène semblable ; en effet, nous allons considérer un cylindre dans lequel le vecteur rotationnel est non nul mais, à l’extérieur du cylindre, nous allons prendre un rotationnel nul.
Ainsi peut-on définir des domaines dans lesquels le mouvement de fluide
est irotationnel (D1) mais il existe un point singulier dans lequel est concentré le
rotationnel de l’espace(D2).
C’est là qu’il faut donc faire attention lors de la modélisation.
Interpréter ces domaines comme des lieux où est absent tout tourbillonnement
serait synonyme d’une mauvaise interprétation. La modélisation
que nous allons prendre oblige à considérer tout le domaine(D3)
pour comprendre les phénomènes qui s’y produisent.
On considère donc que la vorticité (directement lié au
vecteur tourbillon par un facteur 2) est homogène à l’intérieur
de la tornade et qu’il est nul à l’extérieur. La
simplification est un peu abusive car on ne prend par en compte la force d’entraînement
due à la viscosité mais elle semble tout de même refléter
de façon correcte une modélisation cohérente du fonctionnement
de la tornade.
On utilise le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r pour établir
l’expression de la composante orthoradiale de la vitesse :
En choisissant comme contour (C) le cercle de rayon r et d’axe Oz, orienté dans le sens trigonométrique, et comme surface (S) s’appuyant sur (C) le disque correspondant, nous obtenons :
La représentation graphique donne :
Le cœur de la tornade c'est-à-dire pour r=0 est une zone de calme ce qui paraît être une modélisation abusive car comme on l’a dit dans la première partie, c’est dans le vortex que la vorticité est maximale.
On se propose alors de faire tendre a vers 0 : le domaine représente alors tout l’espace privé de l’axe Oz ; dans ce domaine, on obtient l’expression du champ des vitesses en remplaçant le produit par par ( est la circulation du tourbillon). En définitive, nous obtenons le champ des vitesses d’un vortex :
Avec un vecteur vitesse de cette forme, il est trivial de remarquer que le rotationnel est nul en tout point de l’espace ( excepté l’axe Oz). Il semble alors narturel de chercher dans ce domaine un potentiel f tel que . En coordonnées cylindriques, l’identification des composantes du gradient conduit à :
et
Il en résulte que f est indépendant de r et que :
soit
Mais le potentiel obtenu n’est pas continu dans le domaine constitué de l’espace privé de Oz.
Ce qui est évidemment incohérent puisque lorsqu’on tourne
de 2p on se retrouve physiquement dans la même situation.
Il est donc évident qu’un tel potentiel ne peut convenir que localement
dans un domaine où l’angle ? varie de moins de 2p.
N.B. : En réalité, la difficulté vient du fait que l’écoulement
est irrotationnel dans le domaine (D) extérieur au cylindre ce qui est « topologiquement
vilain » car on ne peut pas déformer continûment toute courbe
fermée de (D) pour en faire un pont de (D) ( une courbe qui entoure
le cylindre résiste à ce traitmement ). Dans ce cas, on montre
que en tout point de (D) n’impose pas l’existence d’un potentiel
des vitesses dans tout (D).
Dans cette étude, on voit bien que la vorticité est concentré dans
le cœur du vortex. Nous avions choisi un écoulement en 1/r à l’extérieur
du cœur, ce qui donne une vorticité nulle dans cette région
comme nous l’avons supposé au début de notre étude.
Le basculement :
Le basculement d’un tourbillon horizontal en un tourbillon vertical amorce la rotation du courant ascendant de l’orage (selon la théorie classique). La rotation autour d’un axe horizontal (illustrée par le tube du vortex) est due au fait que la vitesse du vent augmente avec l’altitude : le haut d’une masse d’air se déplace plus vite que le bas.
Lorsque les vents soumis à ce cisaillement sont déviés
par un fort courant ascendant, l’axe de rotation bascule et devient vertical
et le courant ascendant qui en résulte tourne dans le sens inverse ds
aiguilles d’une montre (anticyclonique). Le côté éloigné du
tube, qui tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, se trouve généralement
dans le courant ascendant des précipitations de l’orage.
L’étirement :
Ce courant tournant se propage ensuite vers le sol par un effet de « tube
dynamique ». Le long de la colonne en rotation, le champ de pression
est en équilibre avec le champ de vents où la circulation est
fortement incurvée. En effet, la force dirigée vers l'intérieur,
qui s'exerce sur l'air du fait de la faible pression qui règne au centre
de la colonne, est équilibrée la rotation de l'air autour du
centre de la colonne. Dans ces conditions d'équilibre cyclonique, l'air
circule facilement, autour et le long de l'axe du cyclone, mais il ne peut
pratiquement pas s'en éloigner ou s'en approcher. Alors qu'auparavant
une partie de l'air entrait dans la colonne ascendante à l'altitude
des couches moyennes, maintenant la presque totalité de l'air s'engouffre à la
base du tuba. Le cyclone se comporte comme un tube dynamique ; tout se passe
comme dans le tuyau d'un aspirateur, hormis le fait que l'air
n'est pas canalisé par les parois d'un tuyau mais par son propre mouvement
tourbillonnaire. Il en résulte une intensification du courant ascendant
et, par conséquent, un renforcement des vents qui convergent sous le
cyclone. Du fait du cisaillement de la direction du vent, l'air qui s'engouffre
dans le courant ascendant s'élève en tournant autour du centre
de la colonne. D'après une loi fondamentale de la physique, le moment
cinétique d'une masse d'air par rapport à son axe de rotation
vertical est conservé ; ce moment cinétique est égal au
produit de la quantité de mouvement (la masse multipliée par
la vitesse) par la distance à l'axe. Par conséquent, à mesure
que sa distance au centre diminue, la vitesse de la masse d'air augmente ;
elle se met à tourner plus vite de même qu'en patinage artistique
la danseuse tourne plus vite quand elle ramène les bras le long du corps.
Donc, à la base du tube dynamique, la vitesse de rotation augmente ;
cela provoque un allongement du tube vers le bas, par propagation du mouvement
tourbillonnaire plus intense. Les masses d'air qui entrent à la base
du tube tournent et montent en gagnant de la vitesse. Elles sont ainsi étirées
verticalement. Cet étirement réduit le diamètre du cyclone à environ
deux à six kilomètres, ce qui renforce encore la vitesse des
vents : le moment cinétique de l'air, qui tourne maintenant à une
distance plus faible de l'axe, est conservé.
Le basculement, l'effet de tube dynamique, la convergence et l'étirement
vertical sont des processus qui s'entraînent mutuellement et qui peuvent,
par la suite, former un mésocyclone dont le pied est à une altitude
d'un kilomètre et le haut presque au sommet de l'orage à environ
15 kilomètres. Les vents de surface soufflent à des vitesses
atteignant parfois 120 kilomètres à l'heure dans toute la région
située sous la colonne tourbillonnante. La rotation dans le mésocyclone
est cependant encore trop diffuse et trop éloignée du sol pour
engendrer des vents de surface très violents.
Rappel sur la conservation du moment cinétique :
Définition du moment cinétique : Dans
le cas d'une force centrale, c'est-à-dire passant par un point
fixe O, le moment cinétique d'un point matériel M en mouvement
est la vitesse avec laquelle augmente l'aire balayée (angle de balayage)
par une ligne allant du point 0 jusqu'au point matériel ( ), multipliée
par la masse du point matériel (m). Le théorème du moment
cinétique exprime que cette quantité est constante.
Appliquée à un système matériel en mouvement par
rapport à un axe fixe, cette quantité peut être additionnée
pour toutes les masses du système matériel. Elle est encore constante
si le moment par rapport à cet axe des forces extérieures appliquées
au système est nul. La notion de conservation du moment cinétique
exprime qu'un corps au repos ne peut être mis en rotation que si une
impulsion lui est appliquée grâce à des forces extérieures.
Cela signifie aussi que, si un système est en rotation, toute diminution
de son rayon par une concentration doit se trouver compensée par une
augmentation de sa vitesse de rotation.